方程组是数学计算当中必不可少的工具之一，在公务员考试中，较为复杂的应用题大多可以利用方程组来进行求解。虽然公务员考试中的方程组都是一次方程组，但是未知数的个数（在方程组中称为“元”）却可以是三个、四个甚至更多，在2005年江苏省考试中，曾经出现过一道题有十三个未知量。

方程组的求解时间随着方程个数呈指数增加，所以要想在短时间内解决方程组，必须通过不同的方式进行快速消元，使得未知量的个数迅速减少，以便求解。在利用方程组求解应用题时，应该先注意三个原则。

（一）方程组有且仅有唯一一组确定解的条件

要求方程组有且仅有唯一一组确定解，那么需要满足两个条件，一个是方程组的个数跟未知量的个数相同，另一个是方程之间线性无关。前一个条件各位都能理解，但是后一个条件很晦涩，简单说来就是这些方程组不可能通过整式的加减等恒等变形，同时将所有的未知量全都约去。

（二）求设未知量的方法

有不少考生觉得设未知量无非就是“x”、“y”、“z”的事情而已，老生常谈了，何必呢？其实不然，在考试中如果能够养成固定的、良好的设未知量的方法，那么考试时就不会乱了手脚出错。未知量可以采用“规范符号求设法”，比如与路程相关的未知量设置为“S”、与长度相关的未知量设置为“L”，与时间相关的未知量设置为“t”，与速度相关的未知量设置为“v”……未知量还可以采用“顺序字母求设法”，即利用“A”、“B”、“C”、“D”……来对应表示甲、乙、丙、丁……这样设置未知量的目的是避免小写字母“z”与数字“2”相似、“b”与“6”相似，同时又可以满足多个未知量的需要。未知量还可以采用“字母角标求设法”，即采用“x₁、x₂、x₃、x₄……”这组未知量，具体应用方法在例题当中会呈现。

（三）方程组的核心——设而不求

方程的目的是将文字性的内容翻译成为数学表达式，然后通过数学表达式的恒等变形求出未知的量。在求解中有两种情况会用到设而不求的思想。一种情况下，有一些未知量虽然通过方程组可以求出，但是没有必要求得，则可以提前将这类未知量通过恒等变形消元约去。另一种情况下，有一些题目中设置的未知量是不可能通过已知条件求解的，而题目的问题也不是要求这些未知量，而是这些未知量的组合，这时更多的是通过换元的思想将未知量的个数降低，使得方程组能够求解。

例题1：（2007年国家公务员考试第57题）

一篇文章，现有甲、乙、丙三人，如果由甲、乙两人合作翻译，需要10小时完成，如果由、乙丙两人合作翻译，需要12小时完成。现在先由甲丙两人合作翻译4小时，剩下的再由乙单独去翻译，需要12小时才能完成，则，这篇文章如果全部由乙单独翻译，要（    ）小时能够完成

A.15                B.18                C.20                D.25

【答案】：A。

【解析】：假设甲、乙、丙分别用A小时、B小时、C小时可单独完成任务，则根据题意，

这是一个三元一次方程组，但是我们不需要求A、C，通过观察发现，如果将 视为一个整体，可以同时将A、C两个“多余量”一齐消去。

前两式相加可得 ，代入第三式可得，

解得，B＝15小时。选A。

如果花时间将所有未知量全都解出来，不仅容易错，又浪费了宝贵的时间。

例题2：（2008年北京市大学应届毕业生公务员考试第23题）

有甲、乙、丙三箱水果，甲箱重量与乙、丙两箱重量的和的比是1：5，乙箱重量与甲、丙两箱重量的和的比是1：2，甲箱重量与乙箱重量的比是（    ）

A.  1/6           B.1/3                C. 1/2                D.1

【答案】：C。

【解析】：假设甲、乙、丙三箱水果的重量分别为A、B、C，则根据题意，

A：（B＋C）＝1：5

B：（A＋C）＝1：2

对于两式进行变形可得，

A：（A＋B＋C）＝1：（1＋5）＝1：6

B：（A＋B＋C）＝1：（1＋2）＝1：3

由此可见，甲箱货物的重量是三箱货物总重量的1/6，而乙箱货物的重量是三箱货物总重量的1/3，因此这两箱货物的重量比值恰好为1/2。

例题3：（2009年国家公务员考试第117题）

甲、乙、丙、丁四个队共同植树造林，甲队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的1/4，乙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的1/3，，丙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的一半。已知丁队共造林3900亩，问甲队共造林多少亩（    ）

A.3600              B.4500              C.6000              D.9000

【答案】：A。

【解析】：假设甲、乙、丙、丁四个队植树造林的亩数分别为A、B、C、D。根据题意可以列出方程组，

给第一个式子两端同时加上 ，给第二个式子两端同时加上 ，给第三个式子两端同时加上 ，可以将上述三个等式变型为，

由此可知，丁队即D占四个队植树造林总亩数的 ，由此可以求得四个队植树造林的总亩数为 亩。因此，甲队植树造林的亩数为18000×1/5＝3600亩。

例题4：（2009年国家公务员考试第112题）

甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱（    ）

A.10元              B.11元              C.17元              D.21元

【答案】：A。

【解析】：假设签字笔、圆珠笔、铅笔的单价分别为A、B、C，则根据题意可知，

3A＋7B＋C＝32

4A＋10B＋C＝43

以上两式可以变形为，

2（A＋3B）＋（A＋B＋C）＝32

3（A＋3B）＋（A＋B＋C）＝43

这样做的办法其实相当于换元，将原来的三个未知量换元为（A＋3B）和（A＋B＋C）两个未知量。第一个式子乘以3，第二个式子乘以2，得到的两个新的算式相减可得

A＋B＋C＝32×3－43×2＝10

因此，签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共需要10元钱。

例题5：（2004年浙江省公务员考试第24题）

某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组。现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有（    ）个学生只参加了一个小组

A.15                B.16                C.17                D.18

【答案】：A。

【解析】：用一张文氏图来表示学生参加课外活动小组的情况。标注的A、B、C、D、E、F、G分别代表：A，只参加英语小组的；B，参加英语和语文小组，但不参加数学小组的；C，三个小组都参加的；D，参加英语和数学小组，但不参加语文小组的；E，只参加语文小组的；F，参加语文和数学小组，但不参加英语小组的；G，只参加数学小组的。问题是有多少个学生只参加了一个小组，也就是求A＋E＋G。为了方便书写，用符号“Σ”表示全部学生，即（A＋B＋C＋D＋E＋F＋G）。根据题意，

                            Σ＝35

                            A＋B＋C＋D＝17

                            E＋B＋C＋F＝30

                            G＋F＋C＋D＝13

                            C＝5

求（A＋E＋G）？

第二、第三、第四式相加，减去第五式得

A＋E＋G＋2（B＋C＋D＋F）＝55

第一式两边乘以2，减去上式可得

A＋E＋G＝2Σ－55＝2×35－55＝15人

所以只参加一个小组的人一共有15人。注意到我们无法求得这15个人分别各自参加的哪个小组。

例题6：（2005年江苏省公务员考试第19题）

排成一排的13个皮包的平均价格为130元。前8个皮包的平均价格为140元，后8个皮包的平均价格为90元，问中间3个皮包的平均价格是（    ）元

A.120               B.100               C.80                D.50

【答案】：D。

【解析】：假设这13个皮包的价格从前到后排列依次为x₁、x₂、x₃、……x₁₃，那么根据题意可知，

x₁＋x₂＋x₃＋……＋x₈＝140×8

x₆＋x₇＋x₈＋……＋x₁₃＝90×8

x₁＋x₂＋x₃＋……＋x₁₃＝130×13

前两式相加，减去第三式可得

x₆＋x₇＋x₈＝140×8＋90×8－130×13＝150

由此可见位于中间的三个皮包的平均价格为150/3＝50元。

以上通过六道例题，为各位考生展示了在方程组中利用消元、换元快速解决方程组问题的基本方法。这些方法各位考生还需要通过更多的训练而熟悉起来以便在考试中能够运用自如。

责任编辑：虫虫